PL EN


Preferences help
enabled [disable] Abstract
Number of results
2013 | 7 | 39-58
Article title

SCHEMAT RÓŻNICOWY

Content
Title variants
Languages of publication
PL EN
Abstracts
EN
The aim of this work is to present the prosperities of a certain iterative pattern, which we have called the „differential pattern”. It operates through a subtraction of the two adjoining elements of the sequence and returning of their absolute difference, used subsequently in the next steps. The whole procedure can be prolonged, enabling the investigation of the generated sequences. The pattern generates two-dimensional matrixes and the numerical structures of a higher level. The evolution of the pattern leads to various possible behaviours, among which characteristic attractors may be mentioned. They can be the limit cycles, i.e. oscillations appearing after the certain number of iterations, which may be constant or continuously silenced. Another type of a possible attractor is a constant number, which is usually zero. Interestingly enough, the type of attractor toward which the pattern leads may depend on the number of elements in a single sequence, or the assumed edge conditions. It is a peculiar pseudo-bifurcation dependent on the parameters of generated structure, appearing regardless of the value of the elements filling the created numerical structure. During the pattern evolution, complex oscillations have also been observed, i.e. those exerting a different frequency. For instance, in a 5-element sequence, a distinct frequency of oscillations tends to appear on the third position. The visualisation of the pattern has been attempted with the use of R-packet, so it was possible to observe that the pattern generates more complex structures, exerting some level of order. Some behaviours are emerging only after reaching the specific level of complexity. These characteristic objects are dychotomic forks resembling the lightings, or other behaviours whoch we have called ‘ping-pong objects’. The last aspect of this work is the presentation of the differential pattern as a potential candidate for a one-way function, i.e. the procedure possible to be applied in data coding. A distinct section of this article has also been devoted to discuss the pattern as a particular type of cellular automata, about which the authors did not know until the article’s review.
PL
Celem niniejszej pracy jest zaprezentowanie własności pewnego schematu iteracyjnego, zwanego dalej przez nas schematem różnicowym. Działanie jego polega na odejmowaniu dwóch sąsiednich elementów ciągu i zwracaniu ich bezwzględnej różnicy w kolejnych krokach. Całą procedurę można dowolnie przedłużać i jednocześnie badać kolejne postacie generowanych ciągów, które tworzą pewną strukturę liczbową. Zgodnie z naszym założeniem, struktura ta może przyjmować formę dwuwymiarowych ugrupowań liczb (macierzy) lub postacie bardziej złożone. Ewolucja schematu prowadzi do rozmaitych zachowań, wśród których wy-mienić należy pojawianie się charakterystycznych atraktorów, do których zmierzać mogą kolejne postacie generowanych ciągów. Mogą nimi być cykle graniczne, czyli oscylacje pojawiające się po przekroczeniu pewnej liczby iteracji, które albo są stałe i powtarzają się od pewnego momentu w nieskończoność, albo mogą ulegać tłumieniu. Innym atraktorem jest jednakowa i stała od pewnego momentu wartość wszystkich elementów ciągu, zwykle wartość zerowa. Interesujące jest, że to, czy kolejne postacie ciągów zmierzać będą do cyklu granicznego, czy do ujednolicenia elementów, zależeć może od liczby jego elementów oraz przyjętych warunków brzegowych. Jest to swoiste zjawisko, podobne do bifurkacji, zależne od parametrów strukturalnych samego schematu, pojawiające się bez względu na wartości liczbowe elementów tworzonych ciągów. Podczas ewolucji schematu zaobserwowane zostały także oscylacje złożone, tzn. wykazujące różną częstotliwość. Przykładowo dla ciągów 5-elementowych odmienna częstotliwość oscylacji ma tendencję do występowania w przypadku trzeciego elementu. Została podjęta próba wizualizacji ewolucji schematu z wykorzystaniem pakietu R, dzięki czemu można było zaobserwować, że schemat generuje rozmaite struktury złożone, wykazujące pewien poziom uporządkowania. Niektóre za-chowania są emergentne, możliwe do zaobserwowania po przekroczeniu pewnej złożoności układu. Charakterystycznymi obiektami są rozwidlenia dychotomiczne przypominające błyskawice, a także zachowania nazwane przez nas ping-pong. Ostatnim aspektem pracy jest zaprezentowanie schematu różnicowego jako potencjalnego kandydata na funkcję jednokierunkową, algorytmu mogącego znaleźć zastosowanie w szyfrowaniu danych. The aim of this work is to present the prosperities of a certain iterative pattern, which we have called the „differential pattern”. It operates through a subtraction of the two adjoining elements of the sequence and returning of their absolute difference, used subsequently in the next steps. The whole procedure can be prolonged, enabling the investigation of the generated sequences. The pattern generates two-dimensional matrixes and the numerical structures of a higher level. The evolution of the pattern leads to various possible behaviours, among which characteristic attractors may be mentioned. They can be the limit cycles, i.e. oscillations appearing after the certain number of iterations, which may be constant or continuously silenced. Another type of a possible attractor is a constant number, which is usually zero. Interestingly enough, the type of attractor toward which the pattern leads may depend on the number of elements in a single sequence, or the assumed edge conditions. It is a peculiar pseudo-bifurcation dependent on the parameters of generated structure, appearing regardless of the value of the elements filling the created numerical structure. During the pattern evolution, complex oscillations have also been observed, i.e. those exerting a different frequency. For instance, in a 5-element sequence, a distinct frequency of oscillations tends to appear on the third position. The visualisation of the pattern has been attempted with the use of R-packet, so it was possible to observe that the pattern generates more complex structures, exerting some level of order. Some behaviours are emerging only after reaching the specific level of complexity. These characteristic objects are dychotomic forks resembling the lightings, or other behaviours whoch we have called ‘ping-pong objects’. The last aspect of this work is the presentation of the differential pattern as a potential candidate for a one-way function, i.e. the procedure possible to be applied in data coding. A distinct section of this article has also been devoted to discuss the pattern as a particular type of cellular automata, about which the authors did not know until the article’s review.
Publisher

Year
Issue
7
Pages
39-58
Physical description
Contributors
author
  • UNIWERSYTET JAGIELLOŃSKI
  • UNIWERSYTET JAGIELLOŃSKI
References
  • 1. Adamatzky A., Game of Life Cellular Automata, Springer 2010.
  • 2. Blanchard P., Devaney R. L., Hall R. G., Differential Equations, London 2006.
  • 3. Coveney P., Highfield R., Granice złożoności. Poszukiwania porządku w chaotycznym świecie, tłum. P. Amsterdamski, Warszawa 1997.
  • 4. Haken H., Synergetics. Introduction and Advanced Topics, Springer 2004.
  • 5. http://en.wikipedia.org/wiki/Rule_90
  • 6. Katz J., Lindell Y., Introduction to Modern Cryptography, CRC Press 2007.
  • 7. Murray J. D., Wprowadzenie do biomatematyki, tłum. U. Foryś, M. Bodnar, Warszawa 2007.
  • 8. von Neumann J., The Theory of Self-reproducing Automata, ed. A. Burks, Illinois 1966.
  • 9. Wolfram S., A New Kind of Science, Wolfram Media 2002.
Document Type
article
Publication order reference
Identifiers
YADDA identifier
bwmeta1.element.psjd-08d8fc27-b69a-44a3-a292-e5c771f6ff33
JavaScript is turned off in your web browser. Turn it on to take full advantage of this site, then refresh the page.